บทที่ 3 วิธีการดำเนินการ

3.1 แบบจำลองคณิตศาสตร์ แบบจำลองคณิตศาสตร์สำหรับการสอบปลายภาคของชั้นปีที่ 1,2,3 ดัชนี i วิชาที่ i ;i=1,2,3,…,19 j วิชาที่ j ;j=1,2,3,…,7 m จำนวนช่วงเวลาที่ใช้ในการจัดสอบ เท่ากับ 7 ช่วงเวลา C จำนวนนักศึกษาที่ใช้จัดสอบไม่เกิน 280 คน a_ii Element i,i ของเมตริกซ์ A จำนวนนักเรียนในวิชาที่ i ตัวแปรในการตัดสินใจ x_ij = {█( 1 มีการจัดสอบวิชา i ในช่วงเวลาที่ j@@0 ไม่มีการจัดสอบวิชาในช่วงเวลาที่ j)┤ y_ij จำนวนของนักศึกษาที่สอบ สมการเป้าหมาย MinZ= ∑_(j=1)^7▒∑_(i=1)^19▒x_ij ■(;i=1,2,3,…,19@;j=1,2,3,…,7 ) ภายใต้ข้อจำกัด : ■(∑_(j=1)^7▒〖x_ij=1〗@∑_(i=1)^19▒〖y_ij x〗_ij ) สำหรับแต่ละ ■(;i=1,2,3,…,19@;j=1,2,3,…,7 ) ■(x_ij ϵ {0,1}@∑_(j=1)^7▒〖x_ij≤1〗 ) สำหรับแต่ละ ;i=1,2,3,…,19 ตารางที่ 3.1 รายวิชาที่แต่ละชั้นปีเรียน ชั้นปี รายวิชา จำนวนนักศึกษา 1 ภาษาอังกฤษพื้นฐาน 46 การพูดและการเขียนภาษาไทยเพื่อการนำเสนอ 46 เทคโนโลยีสารสนเทศเพื่องานอาชีพ 46 การบัญชีชั้นกลาง 1 46 กฎหมายธุรกิจและการพาณิชย์ 46 การเงินธุรกิจ 46 การจัดการและพฤติกรรมองค์การ 46 2 เทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อชีวิต 98 ภาษาอังกฤษเพื่อธุรกิจ 98 การบริหารการผลิต 98 การบริหารทรัพยากรมนุษย์ 98 การบัญชีต้นทุน 2 98 การภาษีอากร 2 98 การบัญชีหน่วยงานภาครัฐ 98 3 การบัญชีชั้นสูง 2 59 รายงานทางการเงินและการวิเคราะห์งบการเงิน 59 การตรวจสอบภายในและการควบคุมภายใน 59 ระบบสารสนเทศทางการบัญชี 59 การวิจัยทางการบัญชี 59 ตารางที่ 3.2 จำนวนนักศึกษาและรายวิชาที่เรียน รายวิชาที่เรียน จำนวนนักศึกษา (คน) x_1 ภาษาอังกฤษพื้นฐาน y1 46 x_2 การพูดและการเขียนภาษาไทยเพื่อการนำเสนอ y2 46 x_3 เทคโนโลยีสารสนเทศเพื่องานอาชีพ y3 46 x_4 การบัญชีชั้นกลาง 1 y4 46 x_5 กฎหมายธุรกิจและการพาณิชย์ y5 46 x_6 การเงินธุรกิจ y6 46 x_7 การจัดการและพฤติกรรมองค์การ y7 46 x_8 เทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อชีวิต y8 98 x_9 ภาษาอังกฤษเพื่อธุรกิจ y9 98 x_10 การบริหารการผลิต y10 98 x_11 การบริหารทรัพยากรมนุษย์ y11 98 x_12 การบัญชีต้นทุน 2 y12 98 x_13 การภาษีอากร 2 y13 98 x_14 การบัญชีหน่วยงานภาครัฐ y14 98 x_15 การบัญชีชั้นสูง 2 y15 59 x_16 รายงานทางการเงินและการวิเคราะห์งบการเงิน y16 59 x_17 การตรวจสอบภายในและการควบคุมภายใน y17 59 x_18 ระบบสารสนเทศทางการบัญชี y18 59 x_19 การวิจัยทางการบัญชี y19 59 จำนวนนักศึกษาแต่ละชั้นปี ชั้นปี จำนวนนักศึกษา (คน) 1 46 2 98 3 59 การใช้ Excel’s Solver แก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น สุกัญญา เรืองสุวรรณ (2542 : 78,80) ได้กล่าวว่า โปรแกรม Microsoft Excel นั้นเป็นโปรแกรมที่ใช้กันอย่างแพร่หลายทั้งในประเทศไทยและต่างประเทศ ซึ่งโปรแกรม Microsoft Excel จะมีชุดสำหรับการวิเคราะห์ Maximize/Minimize ที่เป็นเชิงเส้น Solve สำหรับใช้ในการหาคำตอบที่เหมาะสมของแบบจำลองการโปรแกรมเชิงเส้น โดยนักศึกษาจะต้องทำการ Add-Ins Solve ก่อนใช้งาน 1. การเรียกใช้งานคำสั่ง Solve เนื่องจาก Solve เป็นฟังก์ชัน Add-Ins ที่จะต้องเรียกใช้จากเมนู ไฟล์ > ตัวเลือก > Add-Ins > Solver Add-in >ไป ดังภาพ ภาพที่ 3.1 การเลือกใช้งานเครื่องมือ Add-Ins เพื่อเลือกใช้งานฟังก็ชัน Solver Add-in ภาพที่ 3.2 การเลือกใช้งานฟังก็ชัน Solver Add-in เมื่อทำตามขั้นตอนดังกล่าว คำสั่ง Solver จะปรากฏที่เมนูข้อมูล ดังภาพต่อไปนี้ ภาพที่ 3.3 แสดงคำสั่ง Solver 2. การนำ Solver ไปประยุกต์ใช้ในโปรแกรมเชิงเส้นเพื่อการตัดสินใจทางธุรกิจ การดำเนินธุรกิจในปัจจุบันมีการแข่งขันกันค่อนข้างสูง ทำให้นักธุรกิจหรือผู้บริหารเล็งเห็นความสำคัญของการนำทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัดมาใช้ให่เกิดประโยชน์อย่างสูงสุดหรือเป็นการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นกับการบริหารจัดการทรัพยากรเพื่อให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (Optimal Result) โดยทรัพยากรดังกล่าว ประกอบด้วย คน เครื่องจักร วัตถุดิบ เวลา เงินทุน และสิ่งอื่นๆ ที่จำเป็นต่อการผลิตหรือการใช้บริการ การนำวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า “การโปรแกรมเชิงเส้น” เข้ามาช่วยแก้ปัญหาการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัดได้ การโปรแกรมเชิงเส้นเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้อธิบายปัญหาที่กำลังเผชิญอยู่ได้โดยคำว่า “การโปรแกรม” หมายถึง การวางแผน ส่วนคำว่า “เชิงเส้น” หมายถึง ความสัมพันธ์ของตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป มีความสัมพันธ์กันในลักษณะที่มีอัตราส่วนคงที่ เช่น กำหนดให้ y=f(x) เป็นสมการเชิงเส้น เมื่อ x เปลี่ยนแปลงก็จะทำให้ค่า y เปลี่ยนแปลงไปด้วยในอัตราที่คงที่ ดังนั้นการโปรแกรมเชิงเส้น จึงหมายถึง การวางแผนการแก้ปัญหาที่มีลักษณะเป็นสมการเชิงเส้น (สมการเส้นตรง) สำหรับกิจกรรมต่างๆ เช่น กิจกกรมด้านธุรกิจ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด 2.1 ลักษณะของปัญหาการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด การดำเนินงานและการจัดการงานทางธุรกิจมักจะเกิดปัญหาที่ต้องการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด แต่อย่างไรก็ตามไม่ว่าจะเป็นปัญหาผลผลิตที่ดีที่สุดด้านใด ปัญหาเหล่านั้นจะมีลักษณะคล้ายกัน คือ จะต้องมีการตัดสินใจเลือกปัญหาที่จะต้องแก้ไขที่มีอยู่มากมาย เช่น ปริมาณสินค้าแต่ละชนิดที่ต้องผลิต ตำแหน่ง/เส้นทางเดินของเครื่องเจาะแผงวงจรไฟฟ้า ปริมาณสินค้าที่จะต้องขนส่งจากไร่ไปยังโรงงาน หรือจากโรงงานไปยังตัวแทนจำหน่าย และจำนวนเงินบำนาญในแต่ละงวดที่จะต้องจ่ายให้กับผู้เกษียณอายุงาน เป็นต้น ปัญหาต่างๆ ที่ต้องตัดสินใจส่วนใหญ่จะมีปัจจัยบางประการเป็นข้อจำกัดที่มีอิทธิพลต่อการตัดสินใจ เช่น ตัดสินใจหาปริมาณสินค้าที่ต้องการผลิต แต่จะต้องผลิตภายใต้ข้อจำกัดที่ว่า “มีวัตถุดิบและแรงงานอยู่จำนวนหนึ่ง” หรือ การตัดสินใจหาเส้นทางเดินเครื่องเจาะแผงวงจรไฟฟ้าภายใต้ข้อจำกัดที่ว่าจะต้องไม่เคลื่อนที่ไปยังเส้นทางเดิมที่เคยเจาะมาแล้ว หรือการตัดสินใจหาปริมาณสินค้าที่จะต้องขนส่งจากไร่ไปโรงงานภายใต้ข้อจำกัดที่ว่า “ในแต่ละไร่จะมีปริมาณสินค้าอยู่อย่างจำกัด และแต่ละโรงงานจะสามารถรับสินค้าได้อย่าง” และการตัดสินใจหาจำนวนเงินบำนาญที่จะต้องจ่ายในแต่ละงวดภายใต้ข้อจำกัดที่ว่า “จะต้องจ่ายไม่เกินจำนวนที่มีอยู่ทั้งหมด” ข้อจำกัดต่างๆทำให้เกิดทางเลือกในการตัดสินใจหลายทางเลือก และผู้ตัดสินใจจะต้องเลือกทางที่ดีที่สุด นั่นคือ ทางเลือกที่จะทำให้บรรลุวัตถุประสงค์ที่ต้องการจากปัญหา ซึ่งอาจมีค่าต่ำสุด หรือสูงสุดอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น การตัดสินใจหาปริมาณการผลิตสินค้าที่ดีที่สุดที่จะทำให้เกิดต้นทุนต่ำสุด การตัดสินใจหาเส้นทางในการเดินทางของเครื่องเจาะแผงวงจรไฟฟ้า ที่เมื่อนำเส้นทางนั้นมารวมกันแล้วให้ระยะสั้นที่สุด และการตัดสินใจหาปริมาณสินค้าที่จะต้องขนส่งจากไร่ไปยังโรงงานที่จะเกิดค่าใช้จ่ายต่ำที่สุด 2.2 การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด ลักษณะปัญหาการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (Optimization) ประกอบไปด้วย 3 ส่วนใหญ่ๆคือ การตัดสินใจ ข้อจำกัด วัตถุประสงค์ หากผู้ตัดสินใจต้องการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุดจำเป็นต้องใช้รูปแบบหรือสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เพื่อแสดงลักษณะทั้ง 3 นั้น 2.3 การตัดสินใจ ปัญหาการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่เกิดขึ้นในการดำเนินงานทางธุรกิจจะต้องมีการตัดสินใจเลือกปัญหาที่จะต้องแก้ไขว่าจะแก้ปัญหาใด เช่น การการตัดสินใจหาปริมาณสินค้าที่จะต้องขนส่งซึ่งเมื่อนำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มาใช้จะต้องเป็นเพียงสัญลักษณ์พยัญชนะภาษาอังกฤษ แสดงแทนการตัดสินใจในปัญหาที่เลือกไว้ สัญลักษณ์ดังกล่าวจะเรียกว่า ตัวแปรการตัดสินใจ เช่น สัญลักษณ์ x_1,x_2,…,x_n เป็นตัวแปร แทนการใช้ปริมาณสินค้า ที่ต้องการผลิต นอกจากสัญลักษณ์พยัญชนะภาษาอังกฤษแล้ว ตัวแปรการตัดสินใจยังสามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ชนิดอื่นก็ได้ เช่น แทนด้วยคำนาม สุนัข แมว ลิง ขนม เป็นต้น 2.4 ข้อจำกัด การตัดสินใจปัญหาการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด จะมีปัจจัยที่มีอิทธิพลทำให้เกิดทางเลือกในการตัดสินใจ ปัจจัยดังกล่าวคือ “ข้อจำกัด” ซึ่งเป็นเงื่อนไขบังคับให้ผู้ตัดสินใจจะเลือกทางเลือกที่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดในแต่ละด้าน เช่น ข้อจำกัดในด้านแรงงาน จำนวนชั่วโมงในการผลิตที่ว่างอยู่ กำลังการผลิต เป็นต้น เมื่อนำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการแก้ปัญหาจะต้องแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรการตัดสินใจที่อยู่ในรูปของฟังก์ชันให้อยุ่ภายใต้ข้อจำกัด โดยมีรูปแบบทั่วไป 3 ลักษณะ คือ น้อยกว่าหรือเท่ากับข้อจำกัด : ∫▒〖(x_1,x_2,…x_n)≤b〗 มากกว่าหรือเท่ากับข้อจำกัด : ∫▒〖(x_1,x_n,…x_n)〗≥b เท่ากับข้อจำกัด : ∫▒〖(x_1,x_n,…x_n)〗=b จากรูปข้างต้นจะเห็นว่า มีการนำฟังก์ชันของตัวแปรการตัดสินใจ : ∫▒〖(x_1,x_2,…x_n)〗 มาเปรียบเทียบกับข้อจำกัด (ซึ่งแทนด้วย b) 3 กรณี ได้แก่ ≥,≤,= ซึ่งหมายความว่า ฟังก์ชันข้อจำกัดอาจจะอยู่ในรูปของทั้งสมการหรืออสมการก็ได้ ยกตัวอย่าง ∫▒〖〖(x〗_(1,) x_2,…,x_n)≤b〗 เช่นการตัดสินใจผลิตสินค้าในปริมาณที่กำหนด จะต้องใช้แรงงานทั้งหมดไม่มากกว่าแรงงานที่มีอยู่ ซึ่งสามารถใช้ข้อจำกัดเหล่านี้ในการแสดงหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุดของแต่ละสถานการณ์ได้ 2.5 วัตถุประสงค์ การตัดสินใจแก้ปัญหา นอกจากจะต้องเลือกทางเลือกที่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดต่างๆแล้วที่สำคัญที่สุดที่จะต้องพิจารณา คือ ต้องเลือกทางเลือกที่ทำให้บรรลุวัตถุประสงค์ได้ ไม่ว่าจะเป็นวัตถุประสงค์ที่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด เช่น การตัดสินใจหาปริมาณการผลิตสินค้าที่ดีที่สุด เพื่อให้เกิดผลกำไรสูงที่สุด หรือการตัดสินใจหาปริมาณสินค้าที่จะต้องขนส่งสินค้าเพื่อให้เกิดต้นทุนต่ำที่สุด เมื่อนำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เข้ามาใช้ในการแก้ปัญหาไม่ว่าจะมาสูงสุดหรือค่าต่ำสุดก็ตาม จะเกิดความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างตัวแปรการตัดสินใจที่นำมาบวก ลบ คูณ หารเพื่อให้บรรลุวัตถุประสงค์นั้น ความสัมพันธ์ดังกล่าวจะแสดงอยู่ในรูปของ “ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์” ซึ่งมีรูปแบบดังนี้ Max หรือ Min :∫▒(x_1,x_2,…,X_n ) สำหรับหนังสือบางเล่ม อาจใช้ตัวแปร Z แทนฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ Max หรือ Min :∫▒(x_1,x_2,…,X_n ) ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะแสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรการตัดสินใจที่ผู้ที่ทำการตัดสินใจนั้นต้องการ ไม่ว่าจะเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ยกตัวอย่างเช่น มีการนำฟังก์ชันมาอธิบายผลกำไรรวมอันเนื่องมาจากกาผลิตสินค้าหลายๆประเภท รวมกันอธิบายผลรวมระยะทางที่เครื่องจักรเคลื่อนที่หรือจำนวนเงินรวมของกองทุนบำเหน็จบำนาญ เป็นต้น โดยสูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุดสามารถอธิบายในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้ Max หรือ Min Z:∫▒(x_1,x_2,…,X_n ) ภายใต้ข้อจำกัด ∫▒(x_1,x_2,…x_n ) ≤b ∫▒〖(x_1,x_2,…x_n)≥b〗 ∫▒〖(x_1,x_2,…x_n)〗=b รูปแบบเหล่านี้แสดงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ทำให้เกิดค่ามากที่สุด หรือน้อยที่สุดรวมไปถึงข้อจำกัดต่างๆของปัญหาการเพิ่มและในแต่ละสมการจะอธิบายวัตถุประสงค์และข้อจำกัดได้แตกต่างกัน เป้าหมายในการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด คือการหาค่าของตัวแปรการตัดสินใจที่มีค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุด ภายใต้ข้อจำกัดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ 3. กำหนดการเชิงเส้น ขั้นตอนในการเอาแบบจำลองโปรแกรมเชิงเส้นไปประยุกต์ใช้ในการแก้ไขปัญหาที่มีความซับซ้อนมีขั้นตอนดังต่อไปนี้ 1.ทำความเข้าใจปัญหา 2.กำหนดตัวแปรตัดสินใจ 3.กำหนดวัตถุประสงค์ในรูปของของฟังก์ชันหรืออสมการเพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรการตัดสินใจ 4. กำหนดข้อจำกัดในรูปของสมการหรืออสมการเชิงเส้นของตัวแปรการตัดสินใจ 5. กำหนดขอบเขตบน/ล่างให้กับตัวแปรของการตัดสินใจ และสรุปสมการหรืออสมการข้างต้นที่ใช้อธิบายปัญหาในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ สมการวัตถุประสงค์ : MAX(MIN)z= C_1 X_1+ C_2 X_2+⋯+ C_n X_n ภายใต้ข้อจำกัด : a_11 x_1+ a_12 x_2+⋯+ a_1n x_n ≤ b_1 a_21 x_1+ a_22 x_2+⋯+ a_2n x_n ≤ b_2 . . . a_m1 x_1+ a_m2 x_2+⋯+ a_mn x_n ≤ b_m ตัวแปร : x_1,x_2,x_3,…,x_n ≥0 โดยกำหนดให้ x_1,x_2,x_3,…,x_n แทน ตัวแปรการตัดสินใจ c_1,c_2,c_3,…,c_n แทน สัมประสิทธิ์ของตัวแปร X ในสมการวัตถุประสงค์ a_ij แทน สัมประสิทธิ์ของตัวแปรในฟังก์ชันข้อจำกัด b_j แทน ปริมาณที่มีอยู่อย่างจำกัดของทรัพยากรแต่ละชนิด การเขียนแบบจำลองกำหนดการเชิงเส้น สมการเป้าหมาย MinZ= ∑_(j=1)^7▒∑_(i=1)^19▒x_ij ■(;i=1,2,3,…,19@;j=1,2,3,…,7 ) โดย i คือ วิชา , j คือ ช่วงเวลา MinZ= x_((1,1) )+ x_((1,2) )+ x_((1,3) )+ x_((1,4) )+ x_((1,5) )+ x_((1,6) )+ x_((1,7) )+ x_((2,1) )+ x_((2,2))+ x_((2,3))+ x_((2,4))+ x_((2,5))+ x_((2,6))+ x_((2,7) )+ x_((3,1) )+ x_((3,2))+ x_((3,3))+ x_((3,4))+ x_((3,5))+ x_((3,6))+ x_((3,7) )+ x_((4,1) )+ x_((4,2))+ x_((4,3))+ x_((4,4))+ x_((4,5))+ x_((4,6))+ x_((4,7) )+ x_((5,1) )+ x_((5,2))+ x_((5,3))+ x_((5,4))+ x_((5,5))+ x_((5,6))+ x_((5,7) )+ x_((6,1) )+ x_((6,2))+ x_((6,3))+ x_((6,4))+ x_((6,5))+ x_((6,6))+ x_((6,7) )+ x_((7,1) )+ x_((7,2))+ x_((7,3))+ x_((7,4))+ x_((7,5))+ x_((7,6))+ x_((7,7) )+ x_((8,1) )+ x_((8,2))+ x_((8,3))+ x_((8,4))+ x_((8,5))+ x_((8,6))+ x_((8,7) )+ x_((9,1) )+ x_((9,2))+ x_((9,3))+ x_((9,4))+ x_((9,5))+ x_((9,6))+ x_((9,7) )+ x_((10,1) )+ x_((10,2))+ x_((10,3))+ x_((10,4))+ x_((10,5))+ x_((10,6))+ x_((10,7) )+ x_((11,1) )+ x_((11,2))+ x_((11,3))+ x_((11,4))+ x_((11,5))+ x_((11,6))+ x_((11,7) )+ x_((12,1) )+ x_((12,2))+ x_((12,3))+ x_((12,4))+ x_((12,5))+ x_((12,6))+ x_((12,7) )+ x_((13,1) )+ x_((13,2))+ x_((13,3))+ x_((13,4))+ x_((13,5))+ x_((13,6))+ x_((13,7) )+ x_((14,1) )+ x_((14,2))+ x_((14,3))+ x_((14,4))+ x_((14,5))+ x_((14,6))+ x_((14,7) )+ x_((15,1) )+ x_((15,2))+ x_((15,3))+ x_((15,4))+ x_((15,5))+ x_((15,6))+ x_((15,7) )+ x_((16,1) )+ x_((16,2))+ x_((16,3))+ x_((16,4))+ x_((16,5))+ x_((16,6))+ x_((16,7) )+ x_((17,1) )+ x_((17,2))+ x_((17,3))+ x_((17,4))+ x_((17,5))+ x_((17,6))+ x_((17,7) )+ x_((18,1) )+ x_((18,2))+ x_((18,3))+ x_((18,4))+ x_((18,5))+ x_((18,6))+ x_((18,7) )+ x_((19,1) )+ x_((19,2))+ x_((19,3))+ x_((19,4))+ x_((19,5))+ x_((19,6))+ x_((19,7) ) เงื่อนไขข้อจำกัด รายวิชาในแต่ละช่วงมีโอกาสสอบได้เพียงครั้งเดียว โดย i คือ วิชา , j คือ ช่วงเวลา x(1,1) + x(1,2) + x(1,3) + x(1,4) + x(1,5) + x(1,6) + x(1,7) = 1 x(2,1) + x(2,2) + x(2,3) + x(2,4) + x(2,5) + x(2,6) + x(2,7) = 1 x(3,1) + x(3,2) + x(3,3) + x(3,4) + x(3,5) + x(3,6) + x(3,7) = 1 x(4,1) + x(4,2) + x(4,3) + x(4,4) + x(4,5) + x(4,6) + x(4,7) = 1 x(5,1) + x(5,2) + x(5,3) + x(5,4) + x(5,5) + x(5,6) + x(5,7) = 1 x(6,1) + x(6,2) + x(6,3) + x(6,4) + x(6,5) + x(6,6) + x(6,7) = 1 x(7,1) + x(7,2) + x(7,3) + x(7,4) + x(7,5) + x(7,6) + x(7,7) = 1 x(8,1) + x(8,2) + x(8,3) + x(8,4) + x(8,5) + x(8,6) + x(8,7) = 1 x(9,1) + x(9,2) + x(9,3) + x(9,4) + x(9,5) + x(9,6) + x(9,7) = 1 x(10,1) + x(10,2) + x(10,3) + x(10,4) + x(10,5) + x(10,6) + x(10,7) = 1 x(11,1) + x(11,2) + x(11,3) + x(11,4) + x(11,5) + x(11,6) + x(11,7) = 1 x(12,1) + x(12,2) + x(12,3) + x(12,4) + x(12,5) + x(12,6) + x(12,7) = 1 x(13,1) + x(13,2) + x(13,3) + x(13,4) + x(13,5) + x(13,6) + x(13,7) = 1 x(14,1) + x(14,2) + x(14,3) + x(14,4) + x(14,5) + x(14,6) + x(14,7) = 1 x(15,1) + x(15,2) + x(15,3) + x(15,4) + x(15,5) + x(15,6) + x(15,7) = 1 x(16,1) + x(16,2) + x(16,3) + x(16,4) + x(16,5) + x(16,6) + x(16,7) = 1 x(17,1) + x(17,2) + x(17,3) + x(17,4) + x(17,5) + x(17,6) + x(17,7) = 1 x(18,1) + x(18,2) + x(18,3) + x(18,4) + x(18,5) + x(18,6) + x(18,7) = 1 x(19,1) + x(19,2) + x(19,3) + x(19,4) + x(19,5) + x(19,6) + x(19,7) = 1 เงื่อนไขข้อจำกัด จำนวนนักศึกษาที่จัดสอบในแต่ละรายวิชาและช่วงเวลาต้องไม่เกิน 280 โดย Y คือ จำนวนนักศึกษาที่สอบ , s คือ วิชา และ t คือ ช่วงเวลา x(1,1)+x(2,1)+x(3,1)+x(4,1)+x(5,1)+x(6,1)+x(7,1)+x(8,1)+x(9,1)+x(10,1)+x(11,1)+x(12,1)+x(13,1)+x(14,1)+x(15,1)+x(16,1)+x(17,1)+x(18,1)+x(19,1) 280 x(1,2)+x(2,2)+x(3,2)+x(4,2)+x(5,2)+x(6,2)+x(7,2)+x(8,2)+x(9,2)+x(10,2)+x(11,2)+x(12,2)+x(13,2)+x(14,2)+x(15,2)+x(16,2)+x(17,2)+x(18,2)+x(19,2) 280 x(1,3)+x(2,3)+x(3,3)+x(4,3)+x(5,3)+x(6,3)+x(7,3)+x(8,3)+x(9,3)+x(10,3)+x(11,3)+x(12,3)+x(13,3)+x(14,3)+x(15,3)+x(16,3)+x(17,3)+x(18,3)+x(19,3) 280 x(1,4)+x(2,4)+x(3,4)+x(4,4)+x(5,4)+x(6,4)+x(7,4)+x(8,4)+x(9,4)+x(10,4)+x(11,4)+x(12,4)+x(13,4)+x(14,4)+x(15,4)+x(16,4)+x(17,4)+x(18,4)+x(19,4) 280 x(1,5)+x(2,5)+x(3,5)+x(4,5)+x(5,5)+x(6,5)+x(7,5)+x(8,5)+x(9,5)+x(10,5)+x(11,5)+x(12,5)+x(13,5)+x(14,5)+x(15,5)+x(16,5)+x(17,5)+x(18,5)+x(19,5) 280 x(1,6)+x(2,6)+x(3,6)+x(4,6)+x(5,6)+x(6,6)+x(7,6)+x(8,6)+x(9,6)+x(10,6)+x(11,6)+x(12,6)+x(13,6)+x(14,6)+x(15,6)+x(16,6)+x(17,6)+x(18,6)+x(19,6) 280 x(1,7)+x(2,7)+x(3,7)+x(4,7)+x(5,7)+x(6,7)+x(7,7)+x(8,7)+x(9,7)+x(10,7)+x(11,7)+x(12,7)+x(13,7)+x(14,7)+x(15,7)+x(16,7)+x(17,7)+x(18,7)+x(19,7) 280 เงื่อนไขข้อจำกัด รายวิชาในชั้นปีเดียวกันต้องไม่สอบในช่วงเวลาเดียวกัน โดย i คือ วิชา , j คือ ช่วงเวลา กลุ่มที่ 1 รายวิชาในชั้นปีที่ 1 x(1,1)+x(2,1)+x(3,1)+x(4,1)+x(5,1)+x(6,1)+x(7,1) 1 x(1,2)+x(2,2)+x(3,2)+x(4,2)+x(5,2)+x(6,2)+x(7,2) 1 x(1,3)+x(2,3)+x(3,3)+x(4,3)+x(5,3)+x(6,3)+x(7,3) 1 x(1,4)+x(2,4)+x(3,4)+x(4,4)+x(5,4)+x(6,4)+x(7,4) 1 x(1,5)+x(2,5)+x(3,5)+x(4,5)+x(5,5)+x(6,5)+x(7,5) 1 x(1,6)+x(2,6)+x(3,6)+x(4,6)+x(5,6)+x(6,6)+x(7,6) 1 x(1,7)+x(2,7)+x(3,7)+x(4,7)+x(5,7)+x(6,7)+x(7,7) 1 กลุ่มที่ 2 รายวิชาในชั้นปีที่ 2 x(8,1)+x(9,1)+x(10,1)+x(11,1)+x(12,1)+x(13,1)+x(14,1) 1 x(8,2)+x(9,2)+x(10,2)+x(11,2)+x(12,2)+x(13,2)+x(14,2) 1 x(8,3)+x(9,3)+x(10,3)+x(11,3)+x(12,3)+x(13,3)+x(14,3) 1 x(8,4)+x(9,4)+x(10,4)+x(11,4)+x(12,4)+x(13,4)+x(14,4) 1 x(8,5)+x(9,5)+x(10,5)+x(11,5)+x(12,5)+x(13,5)+x(14,5) 1 x(8,6)+x(9,6)+x(10,6)+x(11,6)+x(12,6)+x(13,6)+x(14,6) 1 x(8,7)+x(9,7)+x(10,7)+x(11,7)+x(12,7)+x(13,7)+x(14,7) 1 กลุ่มที่ 3 รายวิชาในชั้นปีที่ 3 x(15,1)+x(16,1)+x(17,1)+x(18,1)+x(19,1) 1 x(15,2)+x(16,2)+x(17,2)+x(18,2)+x(19,2) 1 x(15,3)+x(16,3)+x(17,3)+x(18,3)+x(19,3) 1 x(15,4)+x(16,4)+x(17,4)+x(18,4)+x(19,4) 1 x(15,5)+x(16,5)+x(17,5)+x(18,5)+x(19,5) 1 x(15,6)+x(16,6)+x(17,6)+x(18,6)+x(19,6) 1 x(15,7)+x(16,7)+x(17,7)+x(18,7)+x(19,7) 1 ขั้นตอนการดำเนินการ พายัพ ขาวเหลือง และสัจจะ จรัสรุ่งรวีวร (2555: 29-30) ได้กล่าวถึงขั้นตอนการดำเนินการคำนวณพอสังเขป ไว้ดังภาพต่อไปนี้ 1. สร้าง Work sheet ที่เขียนข้อมูลตามแบบจำลองกำหนดการเชิงเส้นดังรูป ภาพที่ 3.4 แสดง Work sheet ที่บันทึกข้อมูล 2. เมื่อสร้าง Work sheet ดังภาพที่ 3.4 เรียบร้อยแล้ว ขั้นต่อไปคือการค้นหาคำตอบที่ดีที่สุด โดยใช้ Solver โดยเลือกคำสั่ง Solver จากเมนูเครื่องมือ ซึ่งจะปรากฏในไดอะล็อกบ๊อกซ์ Solve Parameters ดังภาพที่ 3.5 โดยช่องต่างๆมีรายละเอียดดังต่อไปนี้ ภาพที่ 3.5 แสดงไดอะล็อกบ๊อกซ์ Solve Parameters 2.1 ช่อง Set Objective หมายถึง เซลล์เป้าหมาย ซึ่งในที่นี้คือเซลล์ P8 ให้พิมพ์ $P$8 ซึ่งเป็นเซลล์ที่ได้กำหนดสูตรในการคำนวณหารายวิชาและช่วงเวลาที่ใช้จัดตารางสอบ 2.2 To หมายถึง การกำหนดค่าให้แก่ Set Objective เซลล์เป้าหมายว่า ต้องการให้ค่าสูงสุด (Max) หรือต่ำสุด (Min) หรืเป็นค่าที่ต้องการกำหนดเอง (Value of) แล้วใส่ค่าในช่องว่างนั้น (ในที่นี่ใส่ 0) แต่ในปัญหานี้คือการที่จะหาจำนวนเวลาที่ใช้น้อยที่สุด ดังนั้นให้กำหนด To เป็น(Min) 2.3 ช่อง By Changing Variable Cells หมายถึง ช่วงเซลล์ที่ต้องการแสดงค่าของตัวแปรการตัดสินใจ ค่าของตัวแปรการตัดสินใจจะเปลี่ยนไปเรื่อยๆ เพื่อให้ค่าของสมการเป้าหมายดีที่สุดซึ่งโปรแกรม Microsoft Excel สามารถรับตัวแปรได้ถึง 200 ตัวแปร ในปัญหานี้มีตัวแปรตัดสินใจ 200 ตัวแปร ดังนั้นระบุเซลล์ $B$3:$H$21 2.4 ช่อง Subject to the Constraints เป็นการกำหนดฟังก์ชั่นข้อจำกัดแต่ละข้อ ซึ่งตามโจทย์ข้อนี้ต้องสร้างฟังก์ชันข้อจำกัดจำนวน 4 ข้อ โดยคลิกปุ่ม Add จะปรากฏไดอะล็อกบ๊อกซ์ “Add Constraint” ภาพที่ 3.6 แสดงคำสั่งข้อจำกัดที่ 1 ข้อจำกัดที่ 1 การตัดสินใจในการจัดตารางสอบ เมื่อกำหนดให้เท่ากับ 1 แทนในแต่ละวิชาสามารถสอบได้เพียง 1ครั้ง และ 0 แทน ไม่มีช่วงเวลาที่ใช้สอบ จึงกำหนดค่าให้เซลล์ B3 ถึง H21 เป็น binary (หมายถึงระบบเลขฐานสอง ซึ่งประกอบด้วยตัวเลข 2 จำนวน คือ 0 และ 1) ภาพที่ 3.7 แสดงคำสั่งข้อจำกัดที่ 2 ข้อจำกัดที่ 2 จำนวนนักศึกษาที่จัดสอบในแต่ละรายวิชาและช่วงเวลาต้องไม่เกิน 280 คน Cell ReFerence จึงกำหนดให้เป็นเซลล์ B22 ถึง H22 ดังนั้นระบุเซลล์ $B$22:$H$22 เป็น <= ซึ่ง เป็นขีดจำกัดของ Cell ReFerence จึงกำหนดให้เป็น 280 ภาพที่ 3.8 แสดงคำสั่งข้อจำกัดที่ 3 ข้อจำกัดที่ 3 แต่ละรายวิชาในชั้นปีเดียวกันต้องไม่สอบในช่วงเวลาที่ติดต่อกัน Cell ReFerence จึงกำหนดเป็นเซลล์ M4 ถึง S6 ดังนั้นระบุเซลล์ $M$4:$S6$ เป็น <= ซึ่งเป็นขีดจำกัดของ Cell ReFerence จึงกำหนดให้เป็น 1 ภาพที่ 3.9 แสดงคำสั่งข้อจำกัดที่ 4 ข้อจำกัดที่ 4 แต่ละรายวิชาและช่วงเวลาสอบได้เพียงครั้งเดียว Cell ReFerence จึงกำหนดให้เป็นเซลล์ I3 ถึง I21 ดังนั้นระบุเซลล์ $I$3:$I$21 เป็น = ซึ่งเป็นขีดจำกัดของ Cell ReFerence จึงกำหนดให้เป็น 1 5.หลังจากใส่ค่าต่างๆเรียบร้อยแล้ว กดปุ่ม Options จะปรากฏไดอะล็อกบ๊อกซ์ Solver Option ดังภาพที่ 11 ซึ่งสามารถกำหนดระยะเวลาสูงสุดที่ใช้ในการคำนวณ (Max time) จำนวนรอบสูงสุดที่จะให้เครื่องทำการคำนวณ (Iterations) และนอกจากนี้ยังสามารถกำหนดความผิดพลาดที่ยอมรับได้จาก (Precision,Tolerance,Convergence) แล้วกดปุ่ม Ok เพื่อออกจากไดอะล็อกบ๊อกซ์ 6. กดปุ่ม Solver เพื่อสั่งโปรแกรมเริ่มทำงาน โปรแกรมจะคำนวณหาทางเลือกที่ดีที่สุด เพื่อให้ได้จำนวนเวลาที่จัดสอบน้อยที่สุด ภาพที่ 3.10 แสดงไดอะล็อกบ็อกซ์ Solver Results รายงานผลที่ได้จากโปรแกรม เมื่อโปรแกรมคำนวณหาคำตอบได้แล้วจะปรากฏไดอะล็อกบ็อกซ์ Soiver Results ดังภาพที่ 3.11 และได้ผลการคำนวณดังภาพต่อไปนี้ ภาพที่ 3.11 ผลการคำนวณ